Modélisation du système PAC air eau - immeuble

Courbe de chauffe actuelle (fevrier 2010)

Figures ci-dessus pour régulation simplifiée sans variateur de vitesse vulgairement appelé "Inverter" par Daikin

Nota

Répartition type en énergie pour commutation à 0°C PAC 85% Gaz 15%

Le gaz assure l'intégralité du besoin chauffage et ECS au plus froid de l'hiver..

Les valeurs de puissance mentionnées correspondent à un besoin annuel en énergie de 569 000 kWh
avec une courbe monotone (DJU) basé sur la région parisienne.

Pour un besoin de 595 000 kWh (voir bilan thermique sans isolation préalable) il faut prévoir une correction de 5% soit 

Puissance utile maximum 228 x 1,05 = 237 soit environ 240 kW

Soit avec 3 compresseurs montés en // de taille identique entraînés par des ME de 30 kW Une puissance thermique totale disponible :

avec un COP limité à 2,5*  30 x 3 x 2,5  = 225 kW

           * au lieu de 3,1 pour la PAC eau eau ayant un meilleur rendement

Introduction à la notion de régulateur de vitesse

Chaleur latente ou enthalpie de transition de phase

On sait que des transferts thermiques peuvent s'effectuer en raison de la chaleur spécifique de la matière lorsque celle-ci est soumise à des variations de température. Des transferts thermiques peuvent aussi s'effectuer mais cette fois à température constante lorsque le corps change d'état en passant de la phase liquide à la phase gazeuse ou inversement. Le beurre se conserve mieux lorsqu'il fait très chaud et qu'on l'enroule dans une serviette humide. Cela vient du fait que lorsque l'eau passe de l'état liquide à l'état gazeux en s'évaporant, la réaction est endothermique. Ces transferts thermiques peuvent être quantifiés lorsque l'on connaît la chaleur latente massique d’un corps pur, appelée enthalpie massique de transition. Ces transferts thermiques s'effectuent dans ce cas également à pression constante lorsque que le corps considéré passe de la phase gazeuse à la phase liquide ou inversement de la phase liquide à la phase gazeuse. L'enthalpie massique est la quantité d'énergie thermique nécessaire pour réaliser, de façon réversible, à température et pression constantes, la transition de phase de l’unité de masse d'un corps (voir diagramme de Mollier ci contre).

L'énergie mise en jeu lors d'une réaction qui génère du froid et absorbe de la chaleur est dite endothermique et est considérée comme positive pour le système qui la reçoit. A l'inverse une réaction exothermique est celle qui dégage de la chaleur. L'enthalpie est en quelque sorte de la chaleur emmagasinée à l'intérieur d'une unité de masse de matière, quantité de chaleur se libérant lors du changement d'état de cette matière. Ainsi après avoir été comprimé sous forme gazeuse dans le compresseur, le fluide caloporteur se liquéfie lors de sa condensation et peut transmettre une grande quantité de chaleur dans le primaire de l'échangeur à plaque constituant le condenseur. Lors de ce changement de phase à pression constante, le système échange avec l’extérieur une quantité de chaleur par kilogramme de corps pur, appelée « chaleur latente (massique) de transformation ».

Chaque corps a une chaleur latente différente, celle de l'eau (2,25 10⁶ Joule/kg) est différente de celle des fluides caloporteurs tels que le R410a et le R134a souvent utilisés dans les pompes à chaleur modernes. La variation d’enthalpie du fluide caloporteur s’exprime en Joule/kg. Le compresseur d’une pompe à chaleur à compression de forte puissance, qu'elle soit du type aquathermique du type eau eau ou aérothermique du type air eau est constitué par une pompe à cylindrée constante à spirale type Scroll jusqu’à 250 kW, à pistons jusqu’à 500 kW et à vis au delà de cette puissance.

Les pompes type Scroll sont maintenant entraînées par des moteurs électriques équipés d’un variateur de vitesse électronique, les anciennes régulation du type on-off ayant été abandonnées. La variation de vitesse procure une amélioration notable des performances, la modulation de la puissance peut se faire entre 20 et 120% de la valeur nominale de la pompe à chaleur. L’adaptation de cette puissance en fonction des besoins se modifiant selon la saison (voir figure 3 page 159) permet d’importantes économies d’énergie par rapport aux solutions avec régulation tout ou rien (économie allant jusqu’à 30% selon le manuel coédité par l’Ademe et le BRGM). La société allemande Stieble aurait une expérience de la régulation des pompes à chaleur à compression dans le contexte d'une copropriété. Cette régulation permettrait à chaque copropriétaire de régler très simplement la température dans son appartement d'environ + ou - 4 °C de part et d'autre d'une température moyenne de disons 20°C.

Ceci sous réserve de disposer d'un réseau de chauffage propre et bien filtré et si possible d'un immeuble correctement équilibré thermiquement

Une régulation de température de qualité peut être assuré en combinant un régulateur PID et le variateur de vitesse électronique. Le correcteur PID de type intégrateur est en effet indispensable. Il supprime l’erreur statique pouvant être importante et améliore la précision de la régulation s'il est correctement calé en fréquence par rapport à la constante de temps t de l’immeuble,

On a vu au chapitres III « Lutins thermiques et la conservation de l’énergie »
qu’un immeuble se comporte sur le plan thermique comme une fonction linéaire du premier ordre avec θ_a/P = 1/ ( ζ S (1+t p) 1)
et  une constante de temps t = (V_a c_a+ m_b c_b) / ζ S 2)

L’air a peu d'influence sur l'inertie thermique de l'immeuble. Du fait de l'isolation sommaire par l'intérieur de l'immeuble, c'est surtout la chaleur spécifique c_b des planchers en béton et à un degré moindre celle des murs qui conditionne la constante de temps

Les transferts thermiques qui s'effectuent dans les deux échangeurs à plaques constituants le condenseur et l'évaporateur d'une PAC sont fonction du débit du fluide caloporteur véhiculé par le compresseur de la PAC lorsque ce fluide est à l'état gazeux.

La connaissance de l'enthalpie du fluide caloporteur e_f et de son débit massique Q permet de trouver la puissance P développée au primaire de l’échangeur à plaque du condenseur P = e_f Q = c_e Q Dθ _e 3) 

Cette puissance est proportionnelle à la chute de température Dθ _e dans le primaire de cet échangeur D θ _e = Te – Ts, 

Voir « le transport de l’énergie » chapitre 2 On obtient en remplaçant cette valeur de P dans 1) :
θ_a /D θ _e = c_e Q / ζ S [(1/(1+t p)] 4)

La fonction de transfert 4) n’ayant pas d’intégrateur, il est nécessaire de prévoir un correcteur du type intégrateur pour supprimer l’erreur statique et obtenir une régulation de température correcte.

Le correcteur PID type intégrateur ayant la même constante de temps

t = RC* que la constante de temps de l’immeuble a la fonction de transfert suivante (1+t p) / t p soit une fonction de transfert globale du système immeuble + correcteur en boucle ouverte de θ_a /D θ _e = [c_e Q / ζ S ] / t p correspondant à un système stable qui déphase de 90° à toutes les fréquences. En multipliant par le nombre imaginaire j on a : θ_a /D θ _e = [c_e Q / ζ S ] / tw j représentatif du système global en amplitude et en phase on obtient : θ_a /D θ _e = - [(c_e Q / ζ S) / tw ] j ( j² = -1)
Pour w = 1/t le module de ce nombre imaginaire est égal à: | θ_a /D θ _e | = c_e Q / ζ S 4)

La formule est bien homogène puisque les deux termes c_e Q /D θ _e et ζ S θ_a sont bien égaux et représentatifs de la puissance émise par l’échangeur à plaques pour le premier terme et dissipée par déperdition dans les parois de l’immeuble pour le deuxième terme

*Correcteur intégrateur exemple de calcul
On trouve des composants standards (capacité, ampli opérationnel et résistance) compatible avec la constante de temps t de l'ordre de 3 jours. Pour t_a = 2600 s et C=100 microfarads

R a pour valeur R = t/C = 2600 / (100 x 10^-6)= 26 MW

La constante de temps t de l'immeuble est principalement fonction de l'épaisseur des planchers en béton. La consigne e généralement égale à 18°C est gérée par une décision du conseil syndical en accord avec tous les copropriétaires. Chaque copropriétaire à le pouvoir de moduler la température dans son appartement d'environ +/- 4 degrés de part et d'autre de e. L'utilité du correcteur type intégrateur se comprend intuitivement. Lorsque la consigne de température est égale au retour qui vient du capteur de température installé dans  la pièce, l'erreur de température  est nulle. Cela ne signifie pas pour autant que la vitesse du compresseur l'est aussi puisque celle-ci dépend essentiellement de la puissance qui doit être fournie pour maintenir la température dans l'habitation a la température souhaitée. On voit donc l'importance d'un tel PID qui intègre la différence entre la consigne et la rétroaction en augmentant la vitesse d'entraînement du compresseur en conséquence . Notations cb   Chaleur spécifique  des planchers et des murs  ca   Chaleur spécifique de l’air du logement P    Puissance développée par la PAC ζ     Coefficient de déperdition moyen du bâti S    Surface de déperdition θa Température de l’air à l'intérieur du bâti Te  Température au primaire de l'échangeur à plaque du condenseur Ts    Température du retour.

Nota concernant le chauffage urbain 

Alors que la température Te à l'entrée de l'échangeur à plaque peut atteindre 100 °C dans le cas du chauffage urbain elle est limitée à environ 60°C dans le cas de la PAC ou de la géothermie profonde. (Pour diminuer la profondeur et donc le coût du forage. dans le cas de la géothermie profonde et ne pas affecter le rendement dans le cas de la PAC). Un correcteur PID associée à une valve proportionnelle 3 voies alimentant le primaire d'un échangeur à plaque rentre dans la chaîne de régulation du chauffage urbain.